Robert Murić nogomet je počeo igrati u šestoj godini života u Lepoglavi. Prije odlaska u Dinamo nosio je dresove Golubovca, Ivančice Ivanec, Zagorca iz Krapine i Jerovca.

U Dinamo je stigao 2011. godine gdje je proveo tri godine, a sam će istaknuti da je naslov juniorskog prvaka kojega je osvojio u dresu Dinama, kada je ujedno bio najbolji strijelac, najljepša uspomena iz tog perioda.

Robert je igrao za mlade uzraste reprezentacije Hrvatske, bio je dio reprezentacije koja je nastupila na Europskom i Svjetskom prvenstvu 2013. godine. Murić je na kraju sezone 2013./2014. godine odlučio napustiti Dinamo i potpisao je za Ajax.

Murić je u Ajaxu igrao za mlađe uzraste Ajaxa, te je nastupio ua U-19 momčad. U tom periodu radio je i s legendarnim Dennisom Bergkampom.

Murić je za prvu ekipu Ajaxa debitirao 21. veljače 2016. godine kada je u pobjedi 3:0 protiv Excelsiora upisao asistenciju

Robert je zatim otišao na posudbu u talijansku Pescaru (2016./2017.) za koju je tada nastupao i Dario Župarić.

Murić je u konačnici dvaput igrao za prvu postavu Ajaxa, debi je imao 21. veljače 2016. godine u pobjedi protiv Excelsiora (3:0) kada je upisao osam minuta na travnjaku i asistenciju za treći gol. Ipak, Ajax nije ponudio nastavak suradnje i Robert je karijeru nastavio u portugalskoj Bragi gdje se nije uspio izboriti za mjesto u prvoj ekipi.

S obzirom na poziciju i stil igre, Murić će istaknuti da su mi najbliži igrači poput Robbena i Di Marije, iako je prema njegovoj ocjeni najbolji - Lionel Messi.

Slobodno vrijeme Robert provodi s obitelji i prijateljima.